tesettür ve felsefe bilgi
Burada da, ana bağıntıya, ana önerme eklemine (ok) uygun bir doğruluk değeri kolonunu içeren bir doğruluk tablosu yapabiliriz. Önce, yukarıda belirtilen yöntemlere göre, her iki parantez içinin doğruluk değerleri kolonlarını (1) elde eder; bunları, p ve q'nun değişik doğruluk değerleri için elde ettikten sonra, her iki parantezi, okun belirlediği bağıntıya göre ilişkiye sokar ve böylece parantezlerin içini birer basit önermeymişçesine ele alıp, iki parantezden oluşan önermemizin bütününün doğruluk değerini elde ederiz:
Örneğimize dikkatle bakıldığında, önermemizin bütünü DDYY doğruluk değeri konumundadır ve bunu saptadığımızda daha sonra şunu kolayca görürüz ki, örneğin "p" önermemizin bütünü ile aynı doğruluk değerine sahiptir; bir başka değişle ”p" ile önermemizin bütünü aynı "değer akışı" içindedirler. Öyleyse "p" ile (=pVq) -»(pAq) arasında bir eşdeğerlik var demektir. İşte mantık açısından bu gibi özelliklere sahip önerme formlan önem taşır. Daha önce (Bkz.: "Mantık", I, 3) mantığı "doğru önerme formlarının teorisi" olarak adlandırdığımız anımsandığında, mantık açısından, doğruluk değeri kolonlannda DDDD formuna sahip önerme formlarının önem taşıyacağı açıktır. Gerçekten de, DDDD formuna sahip bir önerme formu, bir mantıksal yasa olarak tanımlanabilir. Örneğin örnek önermemizi küçük bir değişiklikle (pAq) -* (=pVq) kalıbına dönüştürdüğümüzde DDDD şeklinde bir doğruluk değeri kolonu elde ederiz ki, işte bu kalıp
sal yasadır. Bu değişiklik için, örnek önermemiz için kurduğumuz tab. loda her iki (I) sütununun sıralanm değiştirmek yeterlidir ve bu değj. şikliği yaptığımızda, burada okun simgelediği işlevin bize hep doğm sonuçlar verdiğini saptamış oluruz. Yine bunun gibi, (p->-q) A (pAg) gibi bir önerme bağıntısının doğruluk tablosunu çıkardığımızda öner-menin kendi değer akışı içinde bir Y içerdiğini görürüz; ama tamamen formel olan birdeğilleme ile bu bir tek Y'yi D yapabiliriz ve buradan yine bir mantık yasası elde edebiliriz. Önermeler mantığının en önemli görevlerinden biri, bir genel yöntem geliştirmek ve bu yöntem yardımıyla, karşımıza çıkan çok daha karmaşık önerme bağıntılarını, önerme topluluklannı denetleyebilmek, onlann mantıksal bakımdan doğru olup olmadıklanm, tutarlılık ya da tutarsızlıklannı göstermektir. Bu konuda en basit yöntem, iki veya daha fazla önermeyi, doğruluk değerlerindeki gelişmeyi bir tablo içinde görmemizi sağlayan doğruluk tablosu yöntemidir. Bu yöntem birbirlerinden bağımsız olarak Post, Luka-siewicz ve \Vittgenstein (1920) tarafından geliştirilmiştir. Örneğin f(p-
Burada önce, köşeli parantez içindeki bağıntılar, yani tek tek düz parantezlerin içleri (ki, burada hepsi ok işareti ile birbirine bağlanan basit önermelerdir) çözümlenir (1). Daha sonra büyük parantez içindeki ana eklem (yani büyük parantezin içindeki her iki düz parantezi birbirine bağlayan eklem) görülür ve bunun bir birlikte evetleme eklemi olduğu saptandıktan sonra, köşeli parantez içindeki önermeler birlikte evetlemenin doğruluk değerine göre çözümlenir (2).tesettür En sonunda önermenin bütünündeki ana eklem, yani köşeli parantez ile sondaki düz parantezi birbirine bağlayan eklem görülür ve önermenin bütününün ok'a göre çözümleneceği anlaşılır. Yani bir başka deyişle, köşeli parantezin bütününün doğruluk değeri (2) ile sondaki parantezin doğruluk değeri (2), oka göre yeniden çözümlenir ve (3) kolonu elde edilir. Seçtiğimiz bu örnekte, görülebileceği gibi, (3) kolonunda her durum için D çıkmaktadır. Öyleyse bu önerme, önermeler mantığında bir yasadır ve adına hipotetik tasım (sillogizm) denen çok önemli bir yasadır. Mantıksal geçerliliğin en göze çarpıcı örneklerinden olan bu yasa daha kısa bir biçime de dönüştürülebilir. Örneğin Quine (1953) kendi "resolution" (kı-saltıcı çıkanm) yöntemi ile bunu yapmıştır:
Hipotetik sillogizmimizi tekrar ele alalım:
Şimdi, elde elliğimiz bu yeni form içinde q için r>'
[DA(D-r)]-r
Köşeli paranlez içinde bir birlikte evetleme önermesi vard, liyoruz ki, birlikte evetleme önennesi, ancak her iki bileşenin manda doğru olmaları halinde doğrudur. Yani "D A r" önemıesf'** doğruluğuna bağlıdır. Öyleyse, sonuç olarak, "r r" olur ve bu,rj"‘ doğm ister yanlış olsun, doğrudur." p doğru, q olur" durumu içinb^j önerme formumuz, o halde doğrudur. Ama o, "p doğru, q yanlış" mu için de doğrudur. Çünkü;
olarak değiştirebiliriz. Tüm kalıp, böylece bir okla doğru ard bileşen olmuştur; öyleyse p=Y halinde önerme doğrudur; q ve r hangi değeri alırlarsa alsınlar. Hipotetik sillogizm, o halde, bileşen durumundaki önermelerin doğmiuk değerlerinden tamamen bağımsız olarak doğrudur ve işte bu yüzden bir mantık yasasıdır.
Bu yöntemle önermeler mantığındaki tüm önerme formlannı mantıksal yasalara, bu yasalann değillemelerine ve p q r gibi değişkenlerin doğruluk değerlerindeki değişmelere göre tüm kalıbın doğruluk değerini etkileyebilen olumsal önermelere ayrtşttrabiliriz. Öbür yandan önermeler mantığı, aynı zamanda, öncelikle de depilif.rv,» ı
lilikten hareket ederek ve öbür önerme bağmtılannı bunla la tanımlayarak bir aksiyomarik sislen, olarak da kurulaWUr^(SchrfcT
1913'de, "p 1 q" ile gösterilen "geçişsizlik" kavramından yola çıkılarak, değillemenin "plp" ve seçenekliliğin de "(plp) (qlq)" ile tanımlanabileceğini kanıtladı). Burada, önermeler mantığının dayandığı yasalar, artık kendileri kanıtlanamaz şeyler olarak kabul edilirler; yani onlar her durumda "taşıyıcı" durumunda olan aksiyomlardır ve geri kalan aksiyomlar, artık bu "taşıyıcı" aksiyomlardan türetilmek zorundadır. Yani geri kalan aksiyomlar, bu "taşıyıcı" aksiyomlann formel kalıplan içine konulabilen değişkenler olarak görülebilirler. "Taşıyıcı" aksiyomlann nasıl seçildiğine bakıldığında ise, karşımıza çok çeşitli oyun alanlan çıkmaktadır. Önermeler mantığı için böyle değişik aksiyom sistemleri, örneğin Frege (1879), Russell ve Whitehead (1910), Nicod (1917), Lu-kasievvicz ve Tarski (1930), Hilbert ve Bemays (1934) tarafından geliştirilmiştir. Aksiyomlann sayısı 1 (Nicod) ve 15 (Hilbert-Bemays) arasında değişir. Türetimlerin "doğallık" ve nüfuz gücü genellikle aksiyomlann sayısına göre ölçülür. Burada en önemli sorun "mantık ilkeleri" denen "özdeşlik ilkesi" (p p), "çelişmezlik ilkesi" (p A = p) ve "üçüncü halin olmazlığı" (p V = p) ilkelerinin aksiyom sistemi olarak kabul edilip edilemeyeceği, yani bunlann da aksiyomlar arasına katılıp katılamayacağıdır. Eğer bunlar da aksiyom iseler,tesettür mantık yasalannm bu aksiyomlardan türetildiği anımsandığında, bu aksiyomlann "geçer-lilik"lerinin nasıl kanıtlanacağı tam bir problemdir. Çünkü bu durumda, aksiyomlardan elde edilmeleri gereken mantık yasalan, öbür yandan bu aksiyomlann türetiminde ön-koşullar olarak bulunmaktadırlar.tesettür Bu nedenle, mantığın temellendirilıpesi sorunu, bugün için de ortada açık bir sorun olarak durmaktadır. Mantıksal paradokslann keşfinden bu yana "apaçıklık" üzerine yapılan tüm çalışmalar, umulanın tersine pek az inandıncılık taşımaktadır. Özellikle P. Lorenzen, mantığın te-mellendirilmesi sorunuyla ilgili olarak aksiyomlann ötesine geçmeyi denemiştir. Bugün için mantığın temellendirilmesi konusunda "işlemsel inançlar" (H. Dingler) üzerinde
CARNAP, D., Einführung in die symholische Logik, J954 CHURCH, A., Introduction t o Mathematical Logic, Pp. , 1956.
FREGE, G., Begriffsschrift. 1879, yeni baskı 1964 (Freg,,. bkz: Felsefe Tartışmaları, 5.Kitap, 1989 -çev-). *1
FREGE, G., Grundlagen der Arithmetik, 1884, yeni baskı ijj,l
1961. I FREGE, G., Funktion, Begriff, Bedeutung, Ed. Patzig, 195,|
2.baskı 1966.
FREGE, G., Logische Untersuchungen, Ed.Patzig, 1966. HASENJAEGER, G., Einführung in die Grundbegriffe undPrf^ leme der modernen Logik, 1962. ■,
HERMES, H., Einführung in die mathematische Logik, 1963. HİLBERT, D/ACKERMANN, W., Grundzuge der theorerısckğ Logik, 1928 4.baskı 1959.
Journal of Symbolic Logic, 1936'dan beri.
LORENZEN, P., Formole Logik, 1958, 2.baskı 1962. LORENZEN, P., Metamathematik, 1962.
MENNE, A., Einführung in die Logik, 1966.
QUINE, W.V.O., Mathematical Logic, 1940, 3.baskı New Yo
1962. ^
QUINE, .y .0., Methods of Logic, Nevv York 1950.
RUSSELL, BAVHITEHEAD, A.N., Principia Mathematica //]
Cambridge 1910-13, 2.baskı 1925-27 (yeni baskılan 1950, 1957, 196(j SCHMIDT, H.A., Mathematische Gesetze der Logik I, VorlesuJ gen über Aussagenlogik, 1960. İ
SCHOLTZ, H/HASENJAEGER, G., Grundzuge der matheıA tischen Logik, 1961.
SCHUTTE, K., Beweistheorie, 1960.
STEGMÜLLER, W., Unvolistaendigkeit und Unentscheidbarke 1961.
TARSKI, A-, Einführung m die mathematische Lotfik 7 ha<tesettür
